2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

\(\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)

Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :

\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}\)(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z\)

\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)\)

\(\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1\)

\(=82\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{82}\cdot P\ge82\)

\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\)

\(=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\)

\(=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c\)

\(\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)\)

\(\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Ta có đpcm.

Bài 2:

$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$

$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$

$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$ 

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Áp dụng cô si

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)

\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)

\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng các vế tương ứng

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)

=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

c) Cách khác: Áp dụng bổ đề: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\forall x,y,z>0\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\ge\frac{1}{\sqrt{a}}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}.\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}.\frac{1}{\sqrt{a}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c>0\)

sửa đề\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)( luôn đúng với \(x,y\ge1\))

Đpcm

1) Ta có: \(\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^4-b^4\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^8-b^8\right)\left(a^8+b^8\right)\left(a^{16}+b^{16}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^{16}-b^{16}\right)\left(a^{16}+b^{16}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^{32}-b^{32}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=a^{64}-b^{64}\)

hi kết bạn nha

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

tth-new ơi Bài 1 câu a áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số nào thế ạ